Was eine Ableitung ist
Die Steigung einer Kurve in einem Punkt: Man lässt eine Sekante schrumpfen.
Eine Gerade hat eine einzige Steigung. Eine Kurve ist an jeder Stelle anders steil, und die Ableitung ist der Name für diese Steilheit an einer Stelle.
An einem einzelnen Punkt lässt sich keine Steigung messen: Dafür braucht es zwei Punkte. Nimm also einen zweiten Punkt, einen kleinen Schritt h entfernt, und zeichne die Gerade durch beide. Diese Gerade ist eine Sekante, und ihre Steigung ist die Änderung von f geteilt durch h.
Jetzt lass h schrumpfen. Die Sekante dreht sich, und ihre Steigung pendelt sich auf eine Zahl ein. Diese Zahl ist die Ableitung f′(a): die Steigung der Tangente an der Stelle a.
Für f(x) = x² ergibt sich als Steigung der Sekante von a bis a + h genau 2a + h. Geht h gegen 0, bleibt 2a übrig, und das ist die Regel, die du vielleicht kennst: Die Ableitung von x² ist 2x.
Eine Ableitung ist eine Änderungsrate: wie schnell sich das Ergebnis ändert, wenn sich die Eingabe ein wenig ändert. Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes; Grenzkosten sind die Ableitung der Kosten.
Beantworte es erst selbst
Die Sekantensteigung von f(x) = x³ von 1 bis 1 + h ist 3 + 3h + h². Wie groß ist f′(1)?
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3. Geht h gegen 0, verschwinden 3h und h². Das passt zur Regel 3x² an der Stelle x = 1.
Lesen heißt noch nicht können
Leo bringt dir das in deinem Tempo bei, lässt dich erst selbst probieren, bevor er seinen Weg zeigt, und prüft eine Woche später, was geblieben ist.