Das Skalarprodukt
Eine Zahl, die sagt, wie sehr zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen.
Das Skalarprodukt macht aus zwei Vektoren eine einzige Zahl: a · b = a₁b₁ + a₂b₂. Das Rezept ist einfach. Spannend ist, was die Zahl bedeutet.
Sie misst, wie weit ein Vektor entlang des anderen reicht. Fäll von der Spitze von b das Lot auf die Gerade durch a: Der Schatten ist die Projektion von b auf a. Das Skalarprodukt ist die Länge dieses Schattens mal die Länge von a.
Das Vorzeichen sagt also etwas über die Richtung. Positiv: Die Vektoren zeigen im Großen und Ganzen in dieselbe Richtung. Null: Sie stehen senkrecht aufeinander. Negativ: Sie zeigen eher gegeneinander.
Dieselbe Zahl lässt sich mit dem Winkel zwischen den beiden schreiben: a · b = |a| |b| cos θ. Bei senkrechten Vektoren ist cos θ = 0, deshalb verschwindet das Skalarprodukt.
Arbeit in der Physik ist ein Skalarprodukt: Kraft mal Weg in Richtung der Kraft. Ziehst du einen Schlitten schräg nach oben, verrichtet nur der Teil deiner Kraft Arbeit, der entlang des Bodens wirkt.
Beantworte es erst selbst
Stehen (2, −1) und (1, 2) senkrecht aufeinander?
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Ja: 2·1 + (−1)·2 = 0.
Lesen heißt noch nicht können
Leo bringt dir das in deinem Tempo bei, lässt dich erst selbst probieren, bevor er seinen Weg zeigt, und prüft eine Woche später, was geblieben ist.