Was ein Integral aufsummiert
Die Fläche unter einer Kurve als Summe schmaler Rechtecke.
Das Integral einer Funktion zwischen zwei Stellen ist die Fläche zwischen ihrem Graphen und der Achse. Bei einem Rechteck ist das Breite mal Höhe. Eine Kurve hat keine einheitliche Höhe, also teilt man das Intervall in n Streifen und behandelt jeden Streifen wie ein Rechteck.
Jedes Rechteck ist so breit wie sein Streifen und so hoch wie die Funktion an einer Stelle darin, zum Beispiel am linken Rand. Die Summe ihrer Flächen ist eine Riemann-Summe. Sie liegt um die kleinen Stücke zwischen den Rechtecken und der Kurve daneben.
Mach die Streifen schmaler, und diese Stücke schrumpfen. Wächst n über alle Grenzen, pendeln sich die Summen auf eine Zahl ein: das Integral.
Der genaue Wert ist hier 9. Mit 6 linken Rechtecken ist die Summe 6,875; mit 60 etwa 8,78. Jedes Mal, wenn n sich verdoppelt, halbiert sich der Fehler einer Linkssumme ungefähr.
Deshalb macht Integrieren das Ableiten rückgängig: Summiert man viele kleine Änderungen einer Größe auf, erhält man ihre gesamte Änderung. Diesen Zusammenhang nennt man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Beantworte es erst selbst
Die Geschwindigkeit eines Autos wird jede Sekunde aufgezeichnet. Wie würdest du die gefahrene Strecke schätzen?
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Jede Geschwindigkeit mit einer Sekunde multiplizieren und alles addieren: eine Riemann-Summe der Geschwindigkeit über die Zeit. Kürzere Abstände geben eine bessere Schätzung.
Lesen heißt noch nicht können
Leo bringt dir das in deinem Tempo bei, lässt dich erst selbst probieren, bevor er seinen Weg zeigt, und prüft eine Woche später, was geblieben ist.